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求解!一道数学题!
1×2×3×4×5×6×……×99×100的积末尾有几个零?已知:2×3×5×2=60,06的因数中含有1对质因数2和5,所以积的末尾有一个零;2×2×7×5×3×5×5...
1×2×3×4×5×6×……×99×100的积末尾有几个零?
已知:2×3×5×2=60,06的因数中含有1对质因数2和5,所以积的末尾有一个零;
2×2×7×5×3×5×5=10500,10500的因数中含有两对质因数2和5,所以积的末尾有两个零。
以此类推,1×2×3×4×5×6×……×99×100的积末尾有几个零?
我觉得要看这当中有几对质因数2和5,但是一至一百这么多数,总不能一个一个排列出来去数吧。所以,求高人赐教,有什么方法做这道题。 展开
已知:2×3×5×2=60,06的因数中含有1对质因数2和5,所以积的末尾有一个零;
2×2×7×5×3×5×5=10500,10500的因数中含有两对质因数2和5,所以积的末尾有两个零。
以此类推,1×2×3×4×5×6×……×99×100的积末尾有几个零?
我觉得要看这当中有几对质因数2和5,但是一至一百这么多数,总不能一个一个排列出来去数吧。所以,求高人赐教,有什么方法做这道题。 展开
4个回答
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法一:将原式分解质因数,也就是说将它写成完全由质因数乘积的形式,如果要形成0(或者10)则要看这个质因数乘积的式子中2和5的对数,因为一对形成一个零嘛。
可以很直观的看出来2的个数是明显多于5的,所以只要看5的个数就行了,式子中能分解出5的数有:
5、10、15、20、25、30、35、40、45、50、55、60、65、70、75、80、85、90、95、100
得到5的个数分别是:
1、 1、 1、 1、 2、 1、 1、 1、 1、 2、 1、1、 1、 1、 2、 1
1、 1、 1、 2
总共有24个,所以总共会形成24个0
法二:从1到10,连续10个整数相乘:
1×2×3×4×5×6×7×8×9×10。
连乘积的末尾有几个0?
答案是两个0。其中,从因数10得到1个0,从因数2和5相乘又得到1个0,共计两个。
刚好两个0?会不会再多几个呢?
如果不相信,可以把乘积计算出来,结果得到
原式=3628800。你看,乘积的末尾刚好两个0,想多1个也没有。
那么,如果扩大规模,拉长队伍呢?譬如说,从1乘到20:
1×2×3×4×…×19×20。这时乘积的末尾共有几个0呢?
现在答案变成4个0。其中,从因数10得到1个0,从20得到1个0,从5和2相乘得到1个0,从15和4相乘又得到1个0,共计4个0。
刚好4个0?会不会再多几个?
请放心,多不了。要想在乘积末尾得到一个0,就要有一个质因数5和一个质因数2配对相乘。在乘积的质因数里,2多、5少。有一个质因数5,乘积末尾才有一个0。从1乘到20,只有5、10、15、20里面各有一个质因数5,乘积末尾只可能有4个0,再也多不出来了。
把规模再扩大一点,从1乘到30:
1×2×3×4×…×29×30。现在乘积的末尾共有几个0?
很明显,至少有6个0。
你看,从1到30,这里面的5、10、15、20、25和30都是5的倍数。从它们每个数可以得到1个0;它们共有6个数,可以得到6个0。
刚好6个0?会不会再多一些呢?
能多不能多,全看质因数5的个数。25是5的平方,含有两个质因数5,这里多出1个5来。从1乘到30,虽然30个因数中只有6个是5的倍数,但是却含有7个质因数5。所以乘积的末尾共有7个0。
乘到30的会做了,无论多大范围的也就会做了。
例如,这次乘多一些,从1乘到100:
1×2×3×4×…×99×100。现在的乘积末尾共有多少个0?
答案是24个。
可以很直观的看出来2的个数是明显多于5的,所以只要看5的个数就行了,式子中能分解出5的数有:
5、10、15、20、25、30、35、40、45、50、55、60、65、70、75、80、85、90、95、100
得到5的个数分别是:
1、 1、 1、 1、 2、 1、 1、 1、 1、 2、 1、1、 1、 1、 2、 1
1、 1、 1、 2
总共有24个,所以总共会形成24个0
法二:从1到10,连续10个整数相乘:
1×2×3×4×5×6×7×8×9×10。
连乘积的末尾有几个0?
答案是两个0。其中,从因数10得到1个0,从因数2和5相乘又得到1个0,共计两个。
刚好两个0?会不会再多几个呢?
如果不相信,可以把乘积计算出来,结果得到
原式=3628800。你看,乘积的末尾刚好两个0,想多1个也没有。
那么,如果扩大规模,拉长队伍呢?譬如说,从1乘到20:
1×2×3×4×…×19×20。这时乘积的末尾共有几个0呢?
现在答案变成4个0。其中,从因数10得到1个0,从20得到1个0,从5和2相乘得到1个0,从15和4相乘又得到1个0,共计4个0。
刚好4个0?会不会再多几个?
请放心,多不了。要想在乘积末尾得到一个0,就要有一个质因数5和一个质因数2配对相乘。在乘积的质因数里,2多、5少。有一个质因数5,乘积末尾才有一个0。从1乘到20,只有5、10、15、20里面各有一个质因数5,乘积末尾只可能有4个0,再也多不出来了。
把规模再扩大一点,从1乘到30:
1×2×3×4×…×29×30。现在乘积的末尾共有几个0?
很明显,至少有6个0。
你看,从1到30,这里面的5、10、15、20、25和30都是5的倍数。从它们每个数可以得到1个0;它们共有6个数,可以得到6个0。
刚好6个0?会不会再多一些呢?
能多不能多,全看质因数5的个数。25是5的平方,含有两个质因数5,这里多出1个5来。从1乘到30,虽然30个因数中只有6个是5的倍数,但是却含有7个质因数5。所以乘积的末尾共有7个0。
乘到30的会做了,无论多大范围的也就会做了。
例如,这次乘多一些,从1乘到100:
1×2×3×4×…×99×100。现在的乘积末尾共有多少个0?
答案是24个。
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其实,偶数足够多,就看有多少个末尾数字为5的数就可以了
一共有10个5,可以得到10个0
还有10的倍数9个,10、20、30……90,可以得到9个0
还有一个100,可以得到2个0
25、50、75还各多包含一个5的因子,又可得到3个0
故一共有10+9+2+3=24个0。
一共有10个5,可以得到10个0
还有10的倍数9个,10、20、30……90,可以得到9个0
还有一个100,可以得到2个0
25、50、75还各多包含一个5的因子,又可得到3个0
故一共有10+9+2+3=24个0。
追问
偶数足够多是指什么?没看懂。
追答
偶数乘以5都可以得到0,偶数的个数远多于5的个数,不必担心5多而偶数不足,所以说偶数足够多
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解:有一个五:100÷5=20个
有两个五:100÷5²=4个
有三个五:100÷5³≈0个
20+4=24个
答:24个
祝您愉快
有两个五:100÷5²=4个
有三个五:100÷5³≈0个
20+4=24个
答:24个
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1*2*3*4*5*6*7*8*9=362880
又因为1~100有10个1~9 所以用362880*10=3628800
又因为10、20、30-------90、100中有11个0 所以在3628800后加上11个0
所以总共有13个0
又因为1~100有10个1~9 所以用362880*10=3628800
又因为10、20、30-------90、100中有11个0 所以在3628800后加上11个0
所以总共有13个0
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