Question

我们曾经研究过n*n的正方形网格，得到了网格中正方形的总数的表达方式为1的平方+2的平方

+3的平方+。。。n的平方等于多少，当n为100时，正方形网格中的总格数是多少？

Answer 1

同学们，我们曾经研究过n×n的正方形网格，得到了网格中正方形的总数的表达式为12+22+32+…+n2．但n为100时，应如何计算正方形的具体个数呢？下面我们就一起来探究并解决这个问题．首先，通过探究我们已经知道0×1+1×2+2×3+…+（n-l）×n
=
13n（n+l）（n-l）时，我们可以这样做：
（1）观察并猜想：
12+22=（1+0）×1+（1+1）×2=l+0×1+2+1×2=（1+2）+（0×1+1×2）
12+22+32=（1+0）×1+（1+1）×2+（l+2）×3
=1+0×1+2+1×2+3+2×3
=（1+2+3）+（0×1+1×2+2×3）
12+22+32+42=（1+0）×1+（1+1）×2+（l+2）×3+
（1+3）×4（1+3）×4

=1+0×1+2+1×2+3+2×3+
4+3×44+3×4

=（1+2+3+4）+（
0×1+1×2+2×3+3×40×1+1×2+2×3+3×4
）
…
（2）归纳结论：
12+22+32+…+n2=（1+0）×1+（1+1）×2+（1+2）×3+…[1+（n-l）]n
=1+0×1+2+1×2+3+2×3+…+n+（n-1）×n
=（
1+2+3+…+n1+2+3+…+n
）+[
0×1+1×2+2×3+…+（n-1）n0×1+1×2+2×3+…+（n-1）n
]
=
12n（n+1）12n（n+1）
+
13n（n+1）（n-1）13n（n+1）（n-1）

=
16×
n（n+1）（2n+1）n（n+1）（2n+1）

（3 ）实践应用：
通过以上探究过程，我们就可以算出当n为100时，正方形网格中正方形的总个数是
338350338350
．考点：整式的混合运算．分析：根据（1）所得的结论，即可写出（1）（2）的结论；
（3）直接代入（2）的结论，计算即可．解答：解：（1）观察并猜想：（1+3）×4；4+3×4；0×1+1×2+2×3+3×4；

（2）归纳结论：1+2+3+…+n；0×1+1×2+2×3+…+（n-1）n；12n（n+1）；
13n（n+1）（n-1）；n（n+1）（2n+1）；

（3）实践应用：338350．

Answer 2

1）观察并猜想：
12+22=（1+0）×1+（1+1）×2=l+0×1+2+1×2=（1+2）+（0×1+1×2）
12+22+32=（1+0）×1+（1+1）×2+（l+2）×3
=1+0×1+2+1×2+3+2×3
=（1+2+3）+（0×1+1×2+2×3）
12+22+32+42=（1+0）×1+（1+1）×2+（l+2）×3+
（1+3）×4
（1+3）×4
=1+0×1+2+1×2+3+2×3+
4+3×4
4+3×4
=（1+2+3+4）+（
0×1+1×2+2×3+3×4
0×1+1×2+2×3+3×4
）

…
（2）归纳结论：
12+22+32+…+n2=（1+0）×1+（1+1）×2+（1+2）×3+…[1+（n-l）]n
=1+0×1+2+1×2+3+2×3+…+n+（n-1）×n
=（
1+2+3+…+n
1+2+3+…+n
）+[
0×1+1×2+2×3+…+（n-1）n
0×1+1×2+2×3+…+（n-1）n
]=
12n（n+1）
12n（n+1）
+
13n（n+1）（n-1）
13n（n+1）（n-1）
=

1
6
×
n（n+1）（2n+1）
n（n+1）（2n+1）
（3 ）实践应用：
通过以上探究过程，我们就可以算出当n为100时，正方形网格中正方形的总个数是
338350
338350．

Answer 3

n*(n+1)*(2n+1)/6
n=100 338350