Question

数学题有分！！

椭圆3x^2+4y^2=12,设p为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线AP，BP分别与椭圆交于异于A,B的M,N，证明：点B在以MN为直径的圆内。
A,B为左右顶点。。

Answer 1

椭圆3x^2+4y^2=12
x^2/4+y^2/3=1
a^2=4,b^2=3,c=1
右准线x=4,A(-2,0)B（2，0）
设P(4,m)m≠0
PA:y=m/6(x+2),PB:y=m/2(x-2）
y=m/6(x+2)与3x^2+4y^2=12联立消去y得：
(m^2+27)x^2+4m^2x+4m^2-108=0
M(x1,y1),则-2x1=(4m^2-108)/(m^2+27)
x1=(54-2m^2)/(m^2+27)
y1=m/6(x1+2)=18m/(m^2+27)
y=m/2(x-2)与3x^2+4y^2=12联立消去y得
(m^2+3)x^2-4m^x+4m^2-12=0
N(x2,y2), 2x2=(4m^2-12)/(m^2+3)
x2=(2m^2-6)/(m^2+3)
y2=m/2(x2-2)=-6m/(m^2+3）
x1-2=(54-2m^2)/(m^2+27)=-4m^2/(m^2+27)
向量 BM*BN=(x1-2,y1)*(x2-2,y2)
=(x1-2)(x2-2)+y1y2
=-4m^2/(m^2+27) *(-12)/(m^2+3）-6m/(m^2+3）*18m/(m^2+27)
=48m^2/(m^2+3)(m^2+27)-108m^2/(m^2+3)(m^2+27)
=- 60m^2/(m^2+3)(m^2+27)<0
∴ ∠MBN为钝角
∴ 点B在以MN为直径的圆内。