Question

在△ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c,已知c=2,∠C=π/3。若sinC+sin(B-A)=2sin2A，求S△ABC

Answer 1

解：
等式左边 = sin(A+B) + sin(B-A) (利用C = π-A-B)
= 2sinBcosA (和差化积公式，或者直接展开)；
等式右边 = 2sin2A = 4sinAcosA （正弦2倍角公式）
左边=右边，推出：
sinB = 2sinA，于是根据正弦定理，角度对应的边长肯定也服从相同的关系：
b = 2a。根据余弦定理，
c = 2 = sqrt (a^2 + b^2 - 2abcosC)
= sqrt (a^2 + 4a^2 - 2a*2a*1/2) （代入b = 2a，以及C = π/3）
= sqrt (3a^2) = sqrt(3) * a
于是 a = 2/sqrt(3)，b = 4/sqrt(3)，三角形面积S为
S = 1/2 ab sinC = 1/2*8/3*sqrt(3)/2 = 2sqrt(3) / 3
不好意思漏解了，多谢楼上提醒。我一开始化简的时候得到：
2sinBcosA = 4sinAcosA，除了sinB = 2sinA这个情况外，还可以有cosA = 0.
这种情况下的解楼上都算出来了，由于角A是90度，所以面积
S = 1/2 bc = 1/2 * 2 * 2/sqrt(3) = 2sqrt(3)/3。和第一种情况的面积一样，只是a,b的长度调换了位置。

（上面所有的sqrt都是开方的意思）

Answer 2

sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)
sinC+sin(A-B)=sin(A+B)-sin(B-A)=2sinBcosA=2sin2A=4sinAcosA
cosA(sinB-2sinA)=0
cosA=0或sinB-2sinA=0
1)cosA=0，则∠A=π/2，∠B=π/6，a=c/sinC=4√3/3，b=2√3/3。
2)sinB=2sinA，b=2a，a^2+b^2-c^2-2abcosC=0，5a^2-2a^2-4=0，a=2√3/3，b=4√3/3。
b^2=a^2+c^2，∠B=π/2，∠A=π/6。

Answer 3

∵SinC+Sin（B-A）=2Sin2A
2sinBcosA=4sinAcosA
sinB=2sinA
b=2a
c²=a²+b²-2abcosC
a=2/√3
b=4/√3
即S△ABC=1/2absinC
=1/2×8/3×√3/2
=2√3/3