已知函数f(x)=根号3sinxcosx+(cosx)^2.,x∈(π/2,π),求该函数的最值
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f(x)=根号3sinxcosx+(cosx)^2
=(√3/2)sin2x+(1+cos2x)/2
=sin2xcos(π/6)+cos2xsin(π/6)+1/2
=sin(2x+π/6)+1/2
x∈(π/2,π)
所以 2x+π/6∈(7π/6,13π/6)
所以 当2x+π/6=3π/2
即x=2π/3时,y有最小值-1+1/2=-1/2
没有最大值
=(√3/2)sin2x+(1+cos2x)/2
=sin2xcos(π/6)+cos2xsin(π/6)+1/2
=sin(2x+π/6)+1/2
x∈(π/2,π)
所以 2x+π/6∈(7π/6,13π/6)
所以 当2x+π/6=3π/2
即x=2π/3时,y有最小值-1+1/2=-1/2
没有最大值
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追问
为什么说没有最大值?
当x=4π/6时最小,π离4π/6更远,那么这时不就是最大值吗?
若区间没有限制,x=7π/6是时为最大,那么有限制,π时不就是最大?
追答
你说的有些道理,但是关键是你题目中的条件
x∈(π/2,π),
x不能取π
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f(x)=√3sinxcosx+cos²x
=√3/2sin2x+(1+cos2x)/2
=√3/2sin2x+1/2cos2x+1/2
=sin(2x+π/6)+1/2
π<2x<2π
7π/6<2x+π/6π<13π/6
-1≤sin(2x+π/6)<-1/2
f(x)∈[-1,-1/2)
f(x)的最小值是-1.5
望采纳
=√3/2sin2x+(1+cos2x)/2
=√3/2sin2x+1/2cos2x+1/2
=sin(2x+π/6)+1/2
π<2x<2π
7π/6<2x+π/6π<13π/6
-1≤sin(2x+π/6)<-1/2
f(x)∈[-1,-1/2)
f(x)的最小值是-1.5
望采纳
追问
楼上为什么说没有最大值?
当x=4π/6时最小,π离4π/6更远,那么这时不就是最大值吗?
若区间没有限制,x=7π/6是时为最大,那么有限制,π时不就是最大?
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