Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AD平行BC，M、N分别是AD、BC的中点，E、F分别是BM、CM的中点

（1）求证：△ABM全等△DCM
（2）猜想，四边形MENF是怎样的特殊四边形，证明你的结论

Answer 1

证明：由三角形中位线定理可得EN∥CM且EN=1/2CM，FN∥BM且FN=1/2BM，
所以四边形MENF是平行四边形，
再由SAS可得△ABM≌△DCM，所以BM=CM，
所以EN=FN，
所以四边形MENF是菱形；

Answer 2

证明：（1）∵ABCD为等腰梯形，
∴AB=DC，∠A=∠D．
∵M是AD中点，
∴AM=DM．
∴△ABM≌△DCM．
（2）四边形MENF是菱形（若考生回答是平行四边形且给出证明，则此问题只能得2分）
由△ABM≌△DCM，得MB=MC，
∵E、F、N是MB、MC、BC的中点，
∴ME=
1
2
BM，MF=
1
2
MC，NF=
1
2
BM，NE=
1
2
MC．
∴ME=MF=FN=NE．
∴四边形MENF是菱形．
（3）梯形的高等于底边BC的一半连接MN，
∵MENF是正方形，
∴∠BMC=90°．
∵MB=MC，N是中点，
∴MN⊥BC且MN=
1
2 BC．