Question

已知a>b>c且a＋b＋c=0,求证:√b^2-ac<√3a

Answer 1

∵ 3a²-（b²-ac）
=3a²-b²+ac
=3a²-b²-a(a+b)
=2a²-ab-b²
=a²-ab+a²-b²
=a(a-b)+(a-b)(a+b)
=(a+b)(2a-b)
∵ a>b>c,a+b+c=0
∴ a+b>0,2a-b>0
∴ 3a²-（b²-ac）>0
∴ √b^2-ac<√3a

Answer 2

a > b > c，因此(a-b)(a-c) > 0
b = -(a + c)代入得
(2a + c)(a - c) > 0 即
2a^2 - ac - c^2 > 0 从而
a^2 + ac + c^2 < 3a^2 (1)
a^2 + ac + c^2 = (a+c/2)^2 + (3c^2)/4 ≥ 0
(1)式两边开方得
√(a^2 + ac + c^2) < |a|√3 = a√3 (显然a > 0，否则a+b+c < 0)
即√[(a+c)^2 - ac] < a√3
因此√(b^2 - ac) < a√3

得证

Answer 3

其实你采纳的那位也有可以继续写下去的办法
∵ 3a²-（b²-ac）
=3a²-b²+ac
=3a²-b²-a(a+b)
=2a²-ab-b²
=a²-ab+a²-b²
=a(a-b)+(a-b)(a+b)
=（a-b)(2a+b)
∵a+b+c=0,且a>b>c,可知a>0，c<0,
c=-(a+b)<0，∴a+b>0,那么2a+b>0,且a-b>0
所以原不等式大于0恒成立。
提问过去那么久了，我只是偶然看到，顺便留下个人观点而已，同学可以当做没看到