Question

已知函数f(x)=|x-m|和函数g(x)=x|x-m|+m^2-7m.

(1)若方程f(x)=|m|在[-4,+无穷）上有两个不同的解，求实数m的取值范围
（2）若对任意x1属于（-无穷，4],均存在x2属于[3,+无穷），使得f(x1)>g(x2)成立，求实数m的取值范围

Answer 1

等价于任意的x1<=4,任意的x2>=3,f(min)(x1)>g(max)(x2)

由f(min)(x1)=0(若x<=4)或者m-4（若m>4）
g(max)(x2)=m^2-10m+9(若m<3)或者m^2-7m(若m>=3)
当m<3时,0>m^2-10m+9得 1＜m＜3
当3<=m<=4，有0＞m^2-7m，解得 3<=m<=4
当4<=m，有m-4＞m^2-7m，解得 4<=m＜4+2sqrt(3)

综上可得1＜m＜4+2sqrt(3)

Answer 2

：（1）方程f（x）=|m|，即|x-m|=|m|，解得x=0，或x=2m．
要使方程|x-m|=|m|在[-4，+∞）上有两个不同的解，
需 2m≥-4，且2m≠0．解得 m≥-2 且m≠0．
故实数m的取值范围为[-2，0）∪（0，+∞）．
（2）命题等价于任意x1∈（-∞，4]，任意的x2∈[3，+∞），fmin（x1）＞gmax（x2）成立．
又fmin（x1）={0，m≤4m-4，m＞4，gmax（x2）={m2-10m+9，m＜3m2-7m，m≥3．
当m＜3时，有0＞m2-10m+9，解得 1＜m＜3．
当 3≤m≤4，有0＞m2-7m，解得 3≤m≤4．
当4≤m，有m-4＞m2-7m，解得 4≤m＜4+23．
综上可得，1＜m＜4+23，故实数m的取值范围为（1，4+23 ）．