高三数学导数
已知函数f(x)=ln(x)/x的图像为曲线C,函数g(x)=1/2ax+b的图像为直线l,设直线l与曲线C的交点横坐标分别是X1X2且X1不等于X2求证(X1+X2)g...
已知函数f(x)= ln(x)/x的图像为曲线C,函数g(x)=1/2ax+b的图像为直线l,设直线l与曲线C的交点横坐标分别是X1 X2 且X1 不等于X2
求证(X1+X2)g(X1+X2)>2
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求证(X1+X2)g(X1+X2)>2
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L与C交点横坐标满足lnx/x=(1/2)ax+b，
即(1/2)ax^2+bx=lnx(x>0),
∴（1/2）ax1^2+bx1=lnx1,
(1/2)ax2^2+bx2=lnx2,
相加得(1/2)a(x1^2+x2^2)+b(x1+x2)=ln(x1x2),
(x1+x2)g(x1+x2)-2
=(x1+x2)[(1/2)a(x1+x2)+b]-2
=(1/2)a(x1+x2)^2+b(x1+x2)-2
=ax1x2+ln(x1x2)-2>0
即(1/2)ax^2+bx=lnx(x>0),
∴（1/2）ax1^2+bx1=lnx1,
(1/2)ax2^2+bx2=lnx2,
相加得(1/2)a(x1^2+x2^2)+b(x1+x2)=ln(x1x2),
(x1+x2)g(x1+x2)-2
=(x1+x2)[(1/2)a(x1+x2)+b]-2
=(1/2)a(x1+x2)^2+b(x1+x2)-2
=ax1x2+ln(x1x2)-2>0
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