Question

已知圆经过P(4,-2),Q(-1,3)两点,且在y轴上截得的线段长为4根号3,求圆的方程

Answer 1

圆心在PQ的垂直平分线上，
直线PQ斜率k1=(3+2)/(-1-4)=-1,
PQ中点坐标M，Mx=(4-1)/2=3/2,My=(3-2)/2=1/2,
M(3/2,1/2),
线段PQ垂直平分线斜率为其负倒数，k2=1,
方程：(y-1/2)/(x-3/2)=1,
y=x-1,
设圆心坐标为C（a,a-1),
则圆方程为：（x-a)^2+(y-a+1)^2=R^2,(1)
R为圆半径，
设圆和Y轴相交于M、N两点，
取MN中点E，连结CE，
则CE⊥MN，且|NE|=|MN|/2=2√3，
|CE|为圆心的横坐标为a,
根据勾股定理，R^2=a^2+(2√3）^2,代入（1）式，
（x-a)^2+(y-a+1)^2=a^2+12,(2)
P点坐标代入（2）式，
a^2-6a+5=0,
a=1,a=5,
R^2=13,或R^2=37,
∴圆方程为：(x-1)^2+y^2=13,
或(x-5)^2+(y-4)^2=37.

Answer 2

圆心必在pq中垂线上
pq中点(3/2,
1/2)
pq斜率:
(3+2)/(-1-4)=-1
∴pq中垂线:
y=x-1,
设圆心(t,t-1)
圆半径平方
(t-4)^2+(t+1)^2=2t^2-6t+17
圆心到y轴的距离为
|t|
∴|t|^2+(2√3)^2=2t^2-6t+17
∴t^2-6t+5=(t-1)(t-5)=0
∴t=1或t=5
t=1时, 圆心(1,0),
圆方程为
(x-1)^2+y^2=13
t=5时, 圆心(5,4),
圆方程为
(x-5)^2+(y-4)^2=37

Answer 3

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