Question

高数定理求证明

Answer 1

参考前面定理16.19的证明：
1、充分性：设B的边界是零面积集，做闭矩形J使得J的内部包含B的闭包。考察在B上定义的常值函数f=1，这是f_B在J上的不连续点集恰好是B的边界，是零面积集，当然也是零测集，故f_B在J上可积。即f在B上可积，于是B是有面积的。
2、必要性：设B是有面积的，做闭矩形J使得J的内部包含B的闭包。由于f=1在B上可积，即f_B在J上可积，故f_B在J上的不连续点集是零测集，注意到不连续点集恰好是B的边界，因此B的边界是零测集。由定理16.9的第5个结论知B的边界是零面积集。