Question

初三反比例函数与一次函数综合题。求解

如图，在平面直角坐标系中，直线OA的解析式为y=1/6x,点A、点B均在双曲线y=k/x(x>0)上，且点A又在直线OA上，其中点A的横坐标是6，AC⊥X轴于点C，BD⊥X轴于点D，BD交OA于点E。①若点E为BD的中点，求点B的坐标？②、在①的条件下，直线l⊥x轴，分别交双曲线、直线OB于点M、N（其中点N在线段OB上），在y轴上是否存在点R，使得△MNR是以MR为一腰的等腰直角三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解:(1)点A在直线y=1/6x上，则：X=6时，y=(1/6)x6=1,即A为(6,1);

点A在函数y=k/x图象上，则1=k/6,k=6.即反比例函数为y=6/x.

延长CA交直线OB于P.

∵BD∥PC.

∴⊿ODE∽⊿ OCA,则DE/AC=OE/OA;

同理可证:BE/PA=OE/OA.

∴BE/PA=DE/AC;若BE=DE,则PA=AC=1.即点P为(6,2).

由P(6,2)及点O的坐标可求得直线OB为:y=(1/3)x.

把y=(1/3)x与y=6/x联立方程组得:x=3√2或-3√2。（X=-3√2不合题意，舍去）

y=(1/3)*(3√2)=√2.所以点B的坐标为（3√2，√2）。

(2)◆本问题中存在两种情况。

(i)当MR⊥Y轴于R时,则MN=MR.设M为横坐标为m,则MR=MN=m.

即6/m-(1/3)m=m,  m=3√2/2.(取正值）;代入反比例函数关系式:6/(3√2/2)=2√2,即R为(0,2√2);

(ii)当MN为等腰直角⊿MNR的斜边时:设MN=2n.

则M的横坐标为n.(等腰直角三角形斜边的高等于斜边的一半）

6/n-(1/3)n=2n, 解得:n=3√14/7.

N的纵坐标为：(1/3)*n=√14/7,则R的纵坐标为3√14/7+√14/7=4√14/7，即R为(0, 4√14/7).

综上所述，点R的坐标为(0,2√2), 或（0,4√14/7).

Answer 2

解：1）由题意得点A(6,1)故OC=6,AC=1,由△ODE∽△OCA,∴OD/ED=AC/OC=6
设ED=x0,则BD=2x0,OD=6x0
又把点A(6,1)代入y=k/x,解得k=6,把点B(6x0,2x0)代入y=6/x得12x0²=6,∴x0=√2/2
故点B(3√2,√2)
(2)设直线MN为x=x0,则M(x0,6/x0),N(x0,x0/3)
若存在△MNR为等腰直角三角形，则RM=MN=x0,即MN=(x0/3)-(6/x0) = RM=x0
∴2x0²=-18,无解，故不存在。