Question

已知一个自然数与199的乘积的末尾是44447777,要使这个乘法成立,在44447777的前面至少得添上怎样的数？

Answer 1

44447777除以199的余数132
10000　0000除以199余数＝　87
设前边加上A，则132+87*A是199的倍数199K
A＝[199K　-132]/87
=[25K+42 +174K -174]/87
所以25K除以87余数＝45＝9*5
可
数　25　50　75　100　125　150　175（K＝7）
余数25　50　75　13　　38　　63　　1
距离45最近的38有38+1*7＝45
所以K最小取5+7*7＝54
A＝[199K　-132]/87＝122
答案：最小填122

Answer 2

至少得添上77

由被199整除的数的性质：首末两位为一段，剩余首位为一段，某两位的2倍与首位的和能被199整除，则原数能被199整除。

设题中数字前面须添上X，即成为X44447777，反复使用上述性质，有
①
X444477，77
X444477 + 77*2 = X444631
②
X4446，31
X4446 + 31*2 = X4508
③
X45，08
X45 + 08*2 = X61
④
X，61
X + 61*2 = 122+X 能被199整除，
显然X最小 = 199-122 = 77

7744447777 ÷ 199 = 38916823 验算成立。