Question

已知关于x的方程x^2+2x+m+1=0

若有两个实根，且都比-1/2小，求实数m取值范围
若有两个实根，且一根比2大，一根比2小，求实数m取值范围

咳咳，要过程，谢了

Answer 1

解：
1、
方程有两实数根，判别式≥0
4-4(m+1)≥0
解得m≤0
对于二次函数f(x)=x²+2x+m+1，对称轴x=-1<-1/2，要两实数根都<-1/2，只要f(-1/2)>0
(-1/2)²+2(-1/2)+m+1>0
解得m>-1/4
综上，得-1/4<m≤0
2、
方程有两不相等的实数根，判别式>0
4-4(m+1)>0
解得m<0
设方程两根分别为x1、x2，由韦达定理得
x1+x2=-2
x1x2=m+1
一根比2大，另一根比2小，即
(x1-2)(x2-2)<0
x1x2-2(x1+x2)+4<0
m+1-2(-2)+4<0
m<-9
综上，得m<-9

Answer 2

①方程有两实根，且都比-1/2小，
△=2^2-4(m+1)≥0，得 m≤0
由韦达定理 x1*x2=m+1＞(-1/2)^2，得 m＞-3/4
∴ -3/4＜m≤0
②有两个实根，且一根比2大，一根比2小，
由△=2^2-4(m+1)＞0，得m＜0
由韦达定理：x1+x2=-2，x1*x2=m+1
一根比2大，另一根比2小，即 (x1-2)(x2-2)<0
x1x2-2(x1+x2)+4<0，m+1-2(-2)+4<0
∴ m<-9

追问

m+1＞(-1/2)^2，这一步为什么？

Answer 3

由于方程有两个要根，故判别式大于0 有2x2-4(m+1)>0
两根都小于-1/2 设分别为x1,x2 由根韦达定理得x1x2=m+1>(-1/2)^2
q解两不等式得 -3/4<m<0

若有两个实根，且一根比2大，一根比2小，求实数m取值范围

b^2-4ac=4-4*(m+1)>0
4-4m-4>0
-4m>0
m<0

Answer 4

首先确定m的范围，若有2个实根，则b^2-4ac>=0，所以4-4*（m+1）>=0，所以m<=0；
1、由于x1+x2=-2，当x1和x2都小于-1/2时，x2<-1/2，同时x2=-2-x1>-2-（-1/2）=-3/2，所以m+1=x1*x2=x2*(-2-x2)，即m=-x2^2-2x2-1，其中x2取值范围为（-3/2，-1/2），所以当x2=-1时，m有最大值0，m的取值范围是（-1/4，0]。
2、若x2>2，则x1=-2-x2<-4，所以m+1=x1*x2=x2*(-2-x2)，即m=-x2^2-2x2-1，其中x2取值范围为（2，无穷大），所以m<-9