Question

在三角形ABC中，D为AC的中点，E是AB上的点，AE\EB=1\2,CE和BD交于点F，设向量BD=向量a,向量BA=向量b

求BF\FD的值

Answer 1

AB=-b，AE=-1/3*b，AD=a-b，AC=2AD=2a-2b。
因为 B、F、D共线，所以存在x、y使 AF=xAB+yAD，且 x+y=1 ，
所以 AF=-xb+(1-x)(a-b)=(1-x)a-b； （1）
同理，由E、F、C共线可得 AF=mAE+nAC，且 m+n=1 ，
所以 AF=-m/3*b+(1-m)(2a-2b)=2(1-m)a+(5m/3-2)b； （2）
比较（1）（2）可得 1-x=2(1-m)，且 -1=5m/3-2 ，
解得 m=3/5，AF=4/5*a-b ，
由此得 BF=BA+AF=b+4/5*a-b=4/5*a，FD=1/5*a，
故 BF=4FD ，也就是 |BF|/|FD|=4 。

Answer 2

BF\FD＝4。方法：过D作AE平行线交EC于G点，DG＝1/2AE＝1/4EB，BF/FD=EB/DG=4。