Question

如图,在△ABC中,P为中线AM上任一点,CP的延长线交AB于D,BP的延长线交AC于E,连接DE. 求证DE∥BC

Answer 1

证明：
在AM的延长线上取一点N，使PM=MN，连接BN，CN
又∵BM=CM
∴四边形BNCP是平行四边形【对角线互相平分的四边形是平行四边形】
∴DC//BN ＝＞AD/AB=AP/AN
BE//NC ＝＞AE/AC=AP/AN
∴AD/AB=AE/AC
∴DE//BC
【★若平行线的这些定理没学，则用下面的★】
∵DC//BN ，∴⊿ADP∽⊿ABN，＝＞AD/AB=AP/AN
∵BE//NC，∴⊿AEP∽⊿ACN， ＝＞AE/AC=AP/AN
∴AD/AB=AE/AC
∵∠DAE=∠BAC【公共角】
∴⊿ADE∽⊿ABC【对应边成比例夹角相等】
∴∠ADE=∠ABC
∴DE//BC

Answer 2

过M作MF∥CD交AB于F，作MG∥BE交AC于G。
∵M是BC的中点，∴F、G分别是BD、CE的中点，∴DF＝BD/2、EG＝CE/2。

∵MF∥PD，∴AD/DF＝AP/PM。　∵MG∥PE，∴AE/EG＝AP/PM。
∴AD/DF＝AE/EG，∴AD/（BD/2）＝AE/（CE/2），∴AD/BD＝AE/CE，∴DE∥BC。