Question

已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c在x=-2/3与x=1处都取得极值，若对x∈[-1,2]都有f（x）＜1/c恒成立 求c范围

Answer 1

依题意得，f'(x)=3x^2 +2ax +b，因为在x=-2/3与x=1处都取得极值，所以f'(-2/3)=0，f'(1)=0
代入，解得：a=-1/2 ，b=-2 。
因为要满足“对x∈[-1,2]都有f（x）＜1/c恒成立”，所以x∈[-1,2]时，f(x)的最大值要小于1/c。
也就是说，这道题相当于求“x∈[-1,2]时，f(x)的最大值”。
根据导数的大小，我们可以计算出f(x)的单调区间。
x -负无穷至(-2/3) -2/3 -2/3至1 1 1至正无穷
f'(x) >0 0 <0 0 >0
f(x) 递增 极大值 递减 极小值 递增
由此，可以推断，当x∈[-1,2]时，f(x)的最大值可能为f(-2/3)或f(2)。
又f(-2/3)=(-2/3)^3-1/2*(-2/3)^2-2(-2/3)+c=22/27+c
f(2)=2^3-1/2*2^2-2*2+c=2+c
显然f(2)>f(-2/3)，所以x∈[-1,2]时，f(x)的最大值为2+c
因此，令2+c<1/c，解得c的取值范围是（-∞，-1）∪（2，+∞)。