Question

高中数学题一道，导数部分，求详解

已知二次函数y=g(x)的导函数图象与直线y=2x平行，且y=g(x)在x=-1处取得最小值m-1（m≠0），设函数f(x)=g(x)/x
(1).若曲线y=f(x)上的点P到点Q（0,2）的距离的最小值为√2，求m的值
（2）.k(k∈R)如何取值时，函数y=f(x)-kx存在零点，并求出零点

Answer 1

(1)∵g'(x)与直线y=2x平行
∴ 设g'(x)=2x+a,则g(x)=x^2+ax+b
又∵y=g(x)在x=-1处取得最小值m-1
∴ g'(-1)=-2+a=0 a=2
m-1=1-2+b b=m
故 g(x)=x^2+2x+m
而 f(X)=g(x)/x
所以f(X)=x+2+m/x
由于曲线y=f(x)上的点P到点Q（0,2）的距离的最小值为√2
d^2=x^2+(x+m/x)^2=(2x^4+2mx^2+m^2)/x^2
(d^2)'=(4x^4-2m^2)/x^3
令 (d^2)'=0得：x^2=m/√2
将其代人 d^2=x^2+(x+m/x)^2=(2x^4+2mx^2+m^2)/x^2=2
得：m=2(√2-1)

Answer 2

解：(1)因为g'(x)与直线y=2x平行
所以设g'(x)=2x+n,则g(x)=x^2+nx
而f(X)=g(x)/x
所以f(X)=x+n
因为曲线f(x)上的P到P到点Q(0,2)的距离的最小值为根号2
即d=|0-2+n|/根号2=根号2
n=4或0
当n=0时，g'(x)=2x与与直线y=2x重合，不符合题意，舍去
所以n=4
所以g(x)=x^2+4x
当x=-1时，g(-1)=-3=m-1
所以m=-2
（2）因为f(X)=x+n
所以y=f(X)-kx=(1-k)x+n
所以k=1时，函数y存在零点
因为 g(x)=x^2+nx且g(x)在x=-1处取m-1
即g(-1)=1-n=m-1
所以n=2-m
所以零点为(1，2-m)