Question

已知函数f(x)=x^2-alnx(a∈R).(1)若a=2,求函数f(x)的单调区间

已知函数f(x)=x^2-alnx(a∈R)
(1)若a=2，求函数f(x)的单调区间；
（2）求f(X)在[1,e]上的最小值

Answer 1

证明：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=x2-2lnx，
当x∈（1，+∞）时，f′(x)=2(x2-1)x＞0，
所以f（x）在（1，+∞）上是增函数． （5分）
（Ⅱ）解：f′(x)=2x2-ax(x＞0)，
当x∈[1，e]，2x2-a∈[2-a，2e2-a]．
若a≤2，则当x∈[1，e]时，f′（x）≥0，
所以f（x）在[1，e]上是增函数，
又f（1）=1，故函数f（x）在[1，e]上的最小值为1．
若a≥2e2，则当x∈[1，e]时，f′（x）≤0，
所以f（x）在[1，e]上是减函数，
又f（e）=e2-a，所以f（x）在[1，e]上的最小值为e2-a．
若2＜a＜2e2，则当1≤x＜a2时，f′（x）＜0，此时f（x）是减函数；
当a2＜x≤e时，f′（x）＞0，此时f（x）是增函数．
又f(a2)=a2-a2lna2，
所以f（x）在[1，e]上的最小值为a2-a2lna2．
综上可知，当a≤2时，f（x）在[1，e]上的最小值为1；
当2＜a＜2e2时，f（x）在[1，e]上的最小值为a2-a2lna2；
当a≥2e2时，f（x）在[1，e]上的最小值为e2-a．（13分）

Answer 2

先求导数 再算