Question

已知函数f(x)=x^2-alnx(a∈R),g(x)=x^2+(a+2)x+1

若a＞0，且对任意x1∈[-1,2]，都存在x∈（0，+∞），使得g（x1）=f（x2）,求a的取值范围

Answer 1

原题是:已知函数f(x)=x^2-alnx(a∈R),g(x)=x^2+(a+2)x+1.若a＞0,且对任意x1∈[-1,2]，都存在x2∈(0,+∞),使得g(x1)=f(x2),求a的取值范围.

解:当a>0时

f'(x)=2x-a/x=(x^2-a/2).(2/x) (x>0)
当0<x<√(a/2)时,f'(x)<0,f(x)在其上单减,
当x>√(a/2)时,f'(x)>0,f(x)在其上单增
f'(√(a/2))=0,f(x)在x=√(a/2)处取极小值,也是最小值f(√(a/2))=(a/2)(1-ln(a/2))
又x→0+时,f(x)=x^2-alnx→+∞.
得f(x)的值域是[(a/2)(1-ln(a/2)),+∞)

g(x)=(x+(a+2)/2)^2+1-(a+2)^2/4
其图像开口向上,对称轴x=-(a+2)/2<-1
得g(x)在[-1,2]上单增,在其上的值域是[-a,2a+9]

由已知得a可取的充要条件是:
a>0 且 2a+9≥(a/2)(1-ln(a/2))
即 a>0 且 (18/a)+ln(a)-ln2+3>0

设h(a)=(18/a)+ln(a)-ln2+3 (a>0)
h'(a)=(-18/a^2)+(1/a)=(a-18)/a^2 (a>0)
当0<a<18时,h'(a)<0,h(a)在其上单减,
当a>18时,h'(a)>0,h(a)在其上单增,
h'(18)=0,h(a)在a=18处取极小值,也是最小值h(18)=4+2ln3>0
即对一切 a>0,(18/a)+ln(a)-ln2+3>0恒成立。

所以所求a的取值范围是a>0.

(题目中:x∈(0,+∞),应是:x2∈(0,+∞)）
希望对你有点帮助！

Answer 2

先分类a，再求g(x)=x^2+(a+2)x+1 的值域，f(x)=x^2-alnx(a∈R的值域其实是g(x)=x^2+(a+2)x+1 值域的子集，再结合恒成立思想