Question

如图,在圆O中,弦AB、BC相交于点E,OE平分角AEC,求证:AB=CD

如图,在圆O中,弦AB、BC相交于点E,OE平分角AEC。
求证:（1）AB=CD
（2）如果圆O的半径为5,AD⊥BC，DE=1，求AD

Answer 1

1、连接AO、CO △AOE与△COE关于OE对称
在圆中△AOE≌△COE ，所以AE=CE
又因为∠AEB=∠DEC
弧BD所对的两个圆周角∠BAD＝∠BCD
所以△ABE≌△CDE
所以AB=CD
2、连接AB、OB
因为DE＝1
所以BE＝1
角BDE＝45°
角AOB＝90°
所以AB＝5√ 2
在Rt△AEB中 求出AO=7
所以AD=7+1=8

Answer 2

证明:OE平分∠AEC,作OM⊥AD于M,ON⊥BC于N,则OM=ON.
∴弦AD=弦BC,则弧ABD=弧CDB;
故弧ABD-弧BD=弧CDB-弧BD,即弧AB=CD.
2)解:OM⊥AD,ON⊥BC,AD⊥BC,OM=ON.则四边形OMEN为正方形;
连接OD,设OM=ME=X,则OD^2=OM^2+MD^2.
即:5^2=(1+X)^2+X^2,X=3或-4.(X=-4,舍去)
所以:AD=2MD=2*(3+1)=8.