Question

数学物理方法题目：求解下列定解问题Ut-a²Uxx=2sin2x/l,0<x<l,t>0

求解下列定解问题：
Ut-a²Uxx=2sin2x/l,0<x<l,t>0
U|(x=0)=U|(x=l)=0,t>=0
U|(t=0)=0,0=<x=<l

Answer 1

解:特征函数法
设u(x,t)=∑T(t)sin(nπx/l),n=1..∞
代入范定方程及初值条件有
∑[T'(t)+(nπa/l)²T(t)]sin(nπx/l)=2sin(2x/l)
u(x,t)=∑T(0)sin(nπx/l)=0,得T(0)=0
利用函数系{sin(nπx/l)|n=0..n}在(0,l)上的正交性有
T'(t)+(nπa/l)²T(t)=(4/l)∫(0~l)sin(nπx/l)sin(2x/l)dx
=(-1)^n(4nπsin2)/[4-(nπ)²]=q(n)（记）
则T(t)=exp[-(nπa/l)²t]∫(0~t)q(n)exp[(nπa/l)²t]dt
=(l/nπa)²q(n){1-exp[-(nπa/l)²t]}
定解u(x,t)=∑T(t)sin(nπx/l)
=∑(l/nπa)²q(n){1-exp[-(nπa/l)²t]}sin(nπx/l),n=1..∞