Question

余式定理习题，求详细解释

多项式f(x)除以x^2;+2x+3余x+12，f(x)除以(x+1)^2余5x+4，求多项式f(x)除以(x+1)(x^2;+2x+3)的余式。

求一步步详细解释，本人不会余式定理

Answer 1

由第一个条件知存在多项式p(x)，使得f(x)=(x^2+2x+3)*p(x)+x+12； （1）
由第二个条件知存在多项式q(x)，使得f(x)=(x+1)^2*q(x)+5x+4。 （2）
（2）式中令x=--1得f(--1)=0*q(--1)+5*(--1)+4=--1，代入（1）得
--1=（1--2+3）*p(--1)--1+12，于是p(--1)=--6。
故可设p(x)=(x+1)*r(x)--6，其中r(x)是某一多项式。代入（1）得
f(x)=(x^2+2x+3)*(x+1)*r(x)--6(x^2+2x+3)+x+12=(x+1)(x^2+2x+3)*r(x)--(6x^2-+11x+6) （3）
由（3）知f(x)除以(x+1)(x^2+2x+3)的余式是--(6x^2-+11x+6)