Question

在三棱锥S-ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ABC=90°，且AC=BC=5，SB=5根号5

①求证SC垂直于BC
②求侧面SBC与地面ABC所称二面角的大小
③求三棱锥的体积VS-ABC

Answer 1

首先当△ABC中，∠ABC=90°,则AC≠BC, 可能是打字打错了，可能是AB=AC=5.（我猜测）。是否同意我的猜测？若同意，则解答如下：
(1)证：∵在Rt△ABC中，AC^2=AB^2+BC^2=5^2+5^2=50.
在Rt△SAB中，SA^2=SB^2-AB^2=(5√5)^2-5^2=50
在Rt△SAC中，SC^2=SA^2+AC^2=50+50=100
SB^2-BC^2=(5√5)^2-5^2=25^5-25=100=SC^2.
∴SB^2=SC^2+BC^2.
∴SC⊥BC, 证毕。

(2)∵sA⊥AB,SC⊥AC,AB∩AC=A, SA⊥平面ABC,
平面SBC∩平面ABC=BC
∵AB⊥BC, SC⊥BC,∴异面直线AB与SC的夹角即为所求的二面角的平面角<AB.SC>.
利用向量来求<AB,SC>：
建立空间直角坐标系：A点为坐标原点，以AC的正向为Y轴的正向，以垂直AC的直线为X轴，其方向与Y轴正向成（-90°),以SAW为Z轴，方向向上。
其相关点的坐标如下：
A(O)(0,0,0), B(5√2/2, 5√2/2,0) C(0,5√2,0), S(0,0,10).
向量AB=(5√2/2,5√2/2,0),
|AB|=√[(5√2/2)^2+(5√2/2)^2+0^2]=5.
向量SC=(0,5√2,0)-(0,0,10)=(0,5√2,-10),
|SC|=√[0^2+(5√2)^2+(-10)^2]=5√6.
向量AB.向量SC=[(5√2/2)*0+(5√2/2)*(5√2)+0*(-10)=25.
cos<AB,SC>=AB.SC/|AB||SC|=25/5*5√6=√6/6.
∴所求的二面角的(平面角) <AB,SC>=arccos(√6/6).

(3) S△ABC=(1/2)*AB*BC=25/2.
三棱锥的体积V=(1/3)S△ABC*SA=(1/3)*25/2*10=250/6=125/3 (体积单位).

Answer 2

1、由∠SAB=∠SAC=∠ABC=90°知SC垂直于AB,SC垂直于AC,而AC、AB相交，所以SC垂直于ABC这个面,所以SC垂直于BC。

Answer 3

若∠ABC=90° 那如何有AC=BC？