Question

抛物线y=x²-2x-3与x轴交与A，B两点，与y轴交与C点。

2设直线y=－x+3与y轴的交点是D，在线段D上任意一点E（不与B,D重合），经过A，B，E三点的圆交直线BC与点F，试判断△AEF的形状，并说明理由

Answer 1

抛物线y=x²-2x-3与x轴交与A，B两点，与y轴交与C点。
x^2-2x-3=0
(x-3)(x+1)=0
x=3或x=-1
则点A为（-1,0）B为（3,0）
x=0时，y=-3
所以C坐标为（0，-3）
直线y=－x+3与y轴的交点是D
则D的坐标为（0,3）
根据四个点可以求出直线BD、CB的直线解析式
直线BD：y=-x+3
直线CB：y=x-3
因为点E在BD上，则设点E的坐标为（m,-m+3）
设过ABE三点的圆为(x-a)^2+(y-b)^2=c^2
代入三点，解圆的方程，得：
a=1,b=(),c=()
最后得出圆的方程，
再结合之间CB求出F的坐标。
AFE三点坐标求出后，在看这三条线段的长度就行了。

计算量比较大。

Answer 2

三角形AEF是等腰直角三角形.
证明:直线Y=-X+3与坐标轴的交点是D(0,3),B(3,0)
故OB=OD,角OBD=45度.
又因点C(0,-3),故有OB=OC,所以,角OBC=45度.
由图知角AEF=角ABF=45,角AFE=角ABE=45.
所以,角EAF=90度,且AE=AF,故三角形AEF是等腰直角三角形.