Question

a.b.c.d.为互不相等的整数,多项式f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)-25有整数根,求证:4|a+b+c+d

希望详细些

Answer 1

整数x使得（x-a)(x-b)(x-c)(x-d)＝25＝1*1*5*5
要把25拆成4个不同的整数相乘。只有一个办法。（-1）*（1）*（5）*（-5）
所以（x-a）+(x-b)+(x-c0+(x-d) =0
a+b+c=d =4x
证毕

Answer 2

设整数根为t,则a.b.c.d.t均为整数﹐相应的(t-a)﹑(t-b)﹑(t-c)﹑(t-d)也都为整数
那么f(t)=(t-a)(t-b)(t-c)(t-d)-25=0 (t-a)(t-b)(t-c)(t-d) =25
4个整数的乘积为25﹐那么这4个整数可能性为
1)1﹑1﹑5﹑5
此时(t-a)+(t-b)+(t-c)+(t-d)=12 得a+b+c+d=4t -12被4整除
2)1﹑1﹑-5﹑-5
此时(t-a)+(t-b)+(t-c)+(t-d)=-8 得a+b+c+d=8+4t被4整除
3)-1﹑-1﹑-5﹑-5
此时(t-a)+(t-b)+(t-c)+(t-d)=-12 得a+b+c+d=12+4t被4整除
4)-1﹑-1﹑5﹑5
此时(t-a)+(t-b)+(t-c)+(t-d)=8 得a+b+c+d=4t -8被4整除
5)-1﹑1﹑5﹑-5
此时(t-a)+(t-b)+(t-c)+(t-d)=0 得a+b+c+d=4t被4整除
综上可得
4|a+b+c+d

Answer 3

求证什么？