Question

已知函数f(x)＝x^3＋ax^2＋bx＋c(实数a,b,c为常数)的图象过原点，且在x＝1处...

已知函数f(x)＝x^3＋ax^2＋bx＋c(实数a,b,c为常数)的图象过原点，且在x＝1处的切线为为直线y＝-1/2
求函数f(x)的解析式
若常数m＞0求函数f(x)在区间［-m,m］的最大值

Answer 1

(1)过原点则c=0，当x=1时y＝-1/2，所以a+b=-1/2，又在x=1处的切线为y＝-1/2
斜率为0，即f(x)在x=1处的导数为0，f‘(x）=3x^2+2ax+b，所以3+2a+b=0
解得 a=-5/2 b=2 c=0 所以f(x)=x^3-(5/2)x^2+2x
(2)f‘(x）=3x^2-5x+2=(3x+1)(x-2)
当x≥2时f‘(x）≥0 所以m≥2时f(x)为增函数所以最大值为f(m)=m^3-(5/2)m^2+2m
当0<x<2时 f‘(x）<0 所以0<m<2时f(x)为增减函数所以最大值为f(-m)=（-m）^3-(5/2)m^2-2m