Question

一道奥数题　求解　√￣（7x+9x+13）√￣（7x-5x+13）=7x　　求x

Answer 1

√(7x^2+9x+13) +√(7x^2-5x+13) =7x......（1）
√(7x^2+9x+13)-√(7x^2-5x+13)=a......（2）
（1）×（2）得：
[√(7x^2+9x+13)]^2-[√(7x^2-5x+13) ]^2=7ax
7x^2+9x+13-(7x^2-5x+13) =7ax
7x^2+9x+13-7x^2+5x-13 =7ax
14x=7ax
a=2
将a=2代入（2）得：
√(7x^2+9x+13)-√(7x^2-5x+13)=2
(1)+(2)得：
2√(7x^2+9x+13)=7x+2
4(7x^2+9x+13)=(7x+2)^2
28x^2+36x+52=49x^2+28x+4
21x^2-8x-48=0
(3x+4)(7x-12)=0
7x=√(7x^2+9x+13) +√(7x^2-5x+13)≥0
x≥0
7x-12=0
x=12/7.

Answer 2

√￣（7x²+9x+13）+√￣（7x²-5x+13）=7x
√￣（7x²+9x+13）=7x-√￣（7x²-5x+13）
7x²+9x+13=49x²-14x√￣(7x²-5x+13）+7x²-5x+13
14x√￣(7x²-5x+13）=49x²-14x
2√￣(7x²-5x+13）=7x-2
4(7x²-5x+13）=49x²-28x+4
21x²-8x-48=0
(7x-12)(3x+4)=0
解得x=12/7 或-4/3
验算（1）x=12/7 7x=12 （7x²+9x+13）=144/7+108/7+13=49
7x²-5x+13=144/7-60/7+13=25
√￣（7x²+9x+13）+√￣（7x²-5x+13)=7+5=12 原等式成立
（2）x=-4/3 明显是增跟，因为7x=√￣（7x²+9x+13）+√￣（7x²-5x+13)>0
（也可验算到√￣（7x²+9x+13）=11 /3，√￣（7x²-5x+13)=17/3，而7x=-28/3

所以原方法解只有一个x=12/7