Question

设函数f(x)在(-∞,+∞)内为奇函数,且可导,则奇函数是( )

A sinf'(x) B ∫(0,x)sinxf(t)dt C ∫(0,x)f(sint)dt D∫(0,x)[sint+f(t)]dt
答案是B，为什么？ 求详细解释

Answer 1

因为f(x)是奇函数；sinX也是奇函数，那么F（X）sinX就是偶函数；偶函数不定积分就是奇函数。导数就是也是奇函数；奇函数的积分是偶函数，其导数也是偶函数
对于A：G（-x）= sinf'(-x)= sinf'(x)
对于B：G(-x)= ∫(0,-x)sintf(t)dt = ∫(0,x)sin(-t)f(-t)d(-t)= -∫(0,x)sinxf(t)dt =-G(x);
对于C：G(-x)= ∫(0,-x)f(sint)dt = ∫(0,x)f[sin(-t)]d-t = -∫(0,x)[-f(sint)]dt = ∫(0,x)f(sint)dt =G(x)
对于D：G(-x)= ∫(0,-x)[sint+f(t)]dt=∫(0,x)[-sint-f(t)]d-t=∫(0,x)[sint+f(t)]dt=G(x)