Question

等差数列{An}满足3A8=5A13,且A1>0,Sn为前n项和,则Sn中最大的是__?

Answer 1

3a8=5a13,等价于
3（a1+7d)=5(a1+12d)，移项后可得
2a1+39d=0,即a1+19.5d=0,而由已知条件a1>0，知d<0，an为递减等差数列。
而a20=a1+19d=-0.5d>0
a21=a1+20d=0.5d<0
由上式S21<s20，由等差数列性质，an在n>20时均小于零，也即n>20时，Sn>Sn+1
n<20时，Sn<Sn+1
于是n=20时Sn最大，该空填S20
当然楼上的证法是比较好的，不过我也这么写的话就没啥意思了…………

Answer 2

解：∵等差数列的Sn为二次函数，依题意是开口向下的抛物线故有最大值，
a13=a8+5d，d即为公差，
又3a8=5a13，
a8=-12.5d，
∴a1=-19.5d
Sn=n×a1+n(n-1)/2 d，
Sn=0.5dn2-20dn，
当n为对称轴时即n=20时Sn最大，

Answer 3

解：由已知，3(a1+7d)=5(a1+12d)，则a1=-19.5d 所以，an=-19.5d+(n-1)d=-20.5d+nd. 即联列方程，-20.5d+nd大于等于0和-19.5d+nd小于等于0，又因为d小于0，推出19.5小于等于n大于等于20.5 即n=20.