Question

在直角坐标系中，以点A（根号3，0）为圆心，以2根号3为半径的圆与x轴相交于点B,C，与y轴相交于点D,E

（1）求D点坐标
（2）若B、C、D三点在抛物线y=ax²+bx+c上，求这个抛物线的解析式
（3）若圆A的切线交于x轴正半轴于点M，交y轴负半轴与点N，切点为P，∠OMN=30°，试判断直线MN是否经过所示抛物线的顶点？说明理由

Answer 1

(1)设(x-根号3)^2+y^2=12
则x=0时,y=3 或 y=-3, 所以D点坐标为(0,3) 或(0,-3)
(2)B或C点坐标:
y=0时,x=3根号3 或x=-根号3, 它们坐标为(3根号,0) 及(-根号3,0)
将以上三点代入y=ax²+bx+c(假如D((0,3)))
得y=-1/3x^2+(2根号3)x/3+3
当D(0,-3)时,同样方法算出:
y=1/3x^2-(2根号3)x/3-3

(3)

MN
画图,直线MN不可能经过抛物线y=-1/3x^2+(2根号3)x/3+3的顶点
当抛物线为:y=1/3x^2-(2根号3)x/3-3,
顶点为:(根号3,-4)

∠OMN=30°则AM=圆半径/sin30=2根号3/(1/2)=4根号3, OM=根号3(A点横坐标)+4根号3=5根号3
所以M坐标为(5根号3,0)
ON=OMtg30=5根号3*根号3/3=5
所以N坐标为(0,-5)
MN直线方程为,y=(根号3/3)x-5
代入x=根号3
y=-4,
所以直线MN经过抛物线的顶点

Answer 2

解：因为没有图，但根据题意可确定D点在Y轴负半轴上。
（1）连接AD，OD^2=AD^2-OA^2=12-3=9，所以D点坐标为（0，-3）；
（2）可求得B点坐标为（-根号3，0）、C点坐标为（3根号3，0），B、C、D三点在抛物线y=ax²+bx+c上，解得a=1/3，b=-2根号3/3，c=-3，抛物线的解析式为y=x²/3-(2根号3)x/3-3，抛物线的顶点坐标为（根号3，-4）；
（3）连接AP，则AM=4根号3，所以M点的坐标为（5根号3，0），ON=5，N点的坐标为（0，-5），所以直线MN的解析式求得为y=(根号3)x/3-5，把x=根号3代入求得y=-4，所以直线MN经过所示抛物线的顶点。