Question

已知a、b、c是三角形的三边，且满足关系式a??＋c??＝2ab＋2bc－b??，试说明三角形ABC是等边三角形。

Answer 1

假设三角形是等边三角形，则有A=B=C=60度，下面只要正面等式左右两边相等即可
因为a^2+c^2=2ab+2bc-b^2
等式两边同除以b^2, 得到：（a/b)^2+(c/b)^2=2(a/b)+2(c/b)
移项并整理得到：（a/b)*(a/b-2)=-c/b(2-c/b)
利用三角形的正弦定理： a/b=sinA/sinB=sin60/sin60=1
c/b=sinC/sinB=sin60/sin60=1
则左边=(a/b)*(a/b-2)=1*(1-2)=-1
右边=-c/b(2-c/b)=-1*(2-1)=-1.
左右两边相等，因此假设成立，则ABC是等边三角形

Answer 2

a??＋c??＝2ab＋2bc－b??，
如果是a^2＋c^2＝2ab＋2bc－b^2，
则ABC不可能是等边三角形
例如，设a=b,则c=2b;设b=c,则a=2b;设a=c,则2a^2=4ab-b^2,b<>a

除非是a^2＋c^2＝2ab＋2bc－2b^2，(a-b)^2+(b-c)^2=0,a=b=c

Answer 3

cosA=（b²+c²-a²）/2bc
(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac
运用这两个公式，推到一下你的关系式，大概可以解决。