Question

求这两道数学题目的解法

1,已知函数f（x）=x/(x+1),若数列{an}满足a(n)>0,a(n+1)=[f(根号a(n)]^2m求数列的通向公式a(n), 若数列｛a（n）｝的前n项和为S(n),证明S(n)<2

2,设X1，X2是函数f(x)=aX^3+bX^2-(a^2) x(a>0)的两个极值点。若X1的绝对值+X2的绝对值等于两倍根号2，求b的最大值。若X1<X<X2,且X2=a,函数g(x)=f ' (x)-a(x-x1),求证g（x）的绝对值<= (1/12)a(3a+2)^2

Answer 1

思路————————求出f′（x），因为x1、x2是函数f（x）的两个极值点，而x1=-1，x2=2所以得到f′（-1）=0，f′（2）=0代入求出a、b即可得到函数解析式；

因为x1、x2是导函数f′（x）=0的两个根，利用根与系数的关系对已知进行变形得到a和b的等式，求出b的范围，设p（a）=3a2（6-a），求出其导函数，利用导数研究函数的增减性得到p（a）的极大值，开方可得b的最大值；

因为x1，x2是方程f'（x）=0的两根，所以f'（x）=3a（x-x1）（x-x2）．根据两个之积和x2=a求出x1，将x1和导函数代入到g（x）=f'（x）-a（x-x1）求出g（x）的绝对值，根据x的范围化简绝对值，再利用二次函数最值的方法得证即可．
解答——————————
解 ∵f（x）=ax3+bx2-a2x（a＞0）
∴f'（x）=3ax2+2bx-a2（a＞0）
依题意有{f′(-1)=0f′(2)=0，
∴{3a-2b-a2=012a+4b-a2=0(a＞0)．
解得{a=6b=-9，
∴f（x）=6x3+9x2-36x．
∵f'（x）=3ax2+2bx-a2（a＞0），
依题意，x1，x2是方程f'（x）=0的两个根，且|x1|+|x2|=22，
∴（x1+x2）2-2x1x2+2|x1x2|=8．
∴(-2b3a)2-2•(-a3)+2|-a3|=8，
∴b2=3a2（6-a）．
∵b2≥0，
∴0＜a≤6．
设p（a）=3a2（6-a），则p'（a）=-9a2+36a．
由p'（a）＞0得0＜a＜4，由p'（a）＜0得a＞4．
即：函数p（a）在区间（0，4]上是增函数，在区间[4，6]上是减函数，
∴当a=4时，p（a）有极大值为96，
∴p（a）在（0，6]上的最大值是96，
∴b的最大值为46．

证明：∵x1，x2是方程f'（x）=0的两根，
∴f'（x）=3a（x-x1）（x-x2）．
∵x1•x2=-a3，x2=a，
∴x1=-13．
∴|g(x)|=|3a(x+13)(x-a)-a(x+13)|=|a(x+13)[3(x-a)-1]|
∵x1＜x＜x2，即-13＜x＜a.
∴|g(x)|=a(x+13)(-3x+3a+1)
∴|g（x）|=-3a(x+13)(x-3a+13)=-3a(x-a2)2+3a34+a2+13a≤3a34+a2+13a=a(3a+2)212．
∴|g（x）|≤a12(3a+2)2成立．

追问

p（a）=3a2（6-a）是什么意思？？求详细点

追答

哦哦。。。不好意思，没数学符号，有点仓促打得。。。忘记格式，需要更改的地方很多。。。谅解下，我重发。
解：
∵f（x）=ax^(--这里是幂指数，下同）3+bx^2-a^2*(--这里是乘号，下同）x（a＞0）
∴f'（x）=3ax^2+2bx-a^2（a＞0）
依题意有
{（--这里是方程组，下同）f′(-1)=0
f′(2)=0，
∴{3a-2b-a^2=0
12a+4b-a^2=0(a＞0)．
f（x）=6x^3+9x^2-36x．
∵f'（x）=3ax^2+2bx-a^2（a＞0），
依题意，x1，x2是方程f'（x）=0的两个根，且|x1|+|x2|=2 √2，
∴（x1+x2）^2-2x1x2+2|x1x2|=8．
∴(-2b/(--这里是分式，下同）3a)2-2•(-a/3)+2|-a/3|=8，
∴b^2=3a^2（6-a）．
∵b^2≥0，
∴0＜a≤6．
设p（a）=3a^2（6-a），则p'（a）=-9a^2+36a．
由p'（a）＞0得0＜a＜4，由p'（a）＜0得a＞4．
即：函数p（a）在区间（0，4]上是增函数，在区间[4，6]上是减函数，
∴当a=4时，p（a）有极大值为96，
∴p（a）在（0，6]上的最大值是96，
∴b的最大值为46．

证明：∵x1，x2是方程f'（x）=0的两根，
∴f'（x）=3a（x-x1）（x-x2）．
∵x1•x2= -a/3，x2=a，
∴x1= -1/3．
∴|g(x)|=|3a(x+13)(x-a)-a(x+13)|=|a(x+13)[3(x-a)-1]|
∵x1＜x＜x2，即-1/3＜x＜a.
∴|g(x)|=a(x+1/3)(-3x+3a+1)
∴|g（x）|=-3a(x+13)[x-(3a+1)/3]
= -3a(x-a/2)^2+3a^3/4+a^2+1/3a≤3a^3/4+a^2+1/3a=[a(3a+2)^2]/12．
∴|g（x）|≤a/12*[(3a+2)^2]成立．

我尽力了。。。还有第一题，不知怎么就发不上去，这是2题完整答案。希望对你有帮助。如果不懂还可以继续追问。。。我看看还有什么地方可以完善。

Answer 2

1,已知函数f（x）=x/(x+1),若数列{an}满足a(n)>0,a(n+1)=[f(根号a(n)]^2m求数列的通向公式a(n), 若数列｛a（n）｝的前n项和为S(n),证明S(n)<2

2,设X1，X2是函数f(x)=aX^3+bX^2-(a^2) x(a>0)的两个极值点。若X1的绝对值+X2的绝对值等于两倍根号2，求b的最大值。若X1<X<X2,且X2=a,函数g(x)=f ' (x)-a(x-x1),求证g（x）的绝对值<= (1/12)a(3a+2)^