Question

请教一道高数的积分方程题

2yy''=1+y'²，y(1)=1,y'(1)=-1,求方程的特解

Answer 1

设p=y'=dy/dx
则y"=dp/dx=dp/dy*dy/dx=pdp/dy
方程化为：2ypdp/dy=1+p^2
2pdp/(1+p^2)=dy/y
d(p^2+1)/(1+p^2)=dy/y
ln(1+p^2)=lny+c1
1+p^2=cy
p=±√(cy-1), 由p(1)=-1=-√(c-1), 得：c=2
因此dy/dx=-√(2y-1)
dy/√(2y-1)=dx
√(2y-1)=x+c
y=[(x+c)^2+1]/2
由y(1)=1=[(1+c)^2+1]/2 得：c=0
因此y=(x^2+1)/2