Question

在平面直角坐标系中，放置一个如图所示的直角三角形纸片AOB，已知OA=2，角AOB=30度。

D、E两点同时从原点O出发，D点以每秒根号3个单位长度的速度沿x轴正方向运动，E点以每秒1个单位长度的速度沿y轴正方向运动，设D、E两点的运动时间为t秒。现将三角形纸片AOB在直线DE下方的部分沿DE向上折叠，设折叠后重叠部分面积为S，请写出s与t的函数关系式，并求出S的最大值。

Answer 1

图片中B点在Y轴上，A点在第一象限内，
解：依题意，A点坐标为（1，根号3），B点坐标为（0，根号3），设运动过程中直线DE与直线OA交于F点，D点的坐标为（0，t）、E点的坐标为（t根号3，0），直线OA的解析式求得为y=x根号3，直线DE的解析式求得为y=-x根号3/3+t，所以DE垂直OA。F点的坐标可求得为
（t根号3/4，3t/4），DF=t/4
（1）(0<t<=3/2)时，S=0.5*t*t根号3/4=(根号3/8）*t^2
（2）(3/2<t<根号3）时，设折叠后O点的对应点为G，DG交AB于H，则FO=FG，求得G点的坐标为（t根号3/2，3t/2），DG的解析式为y=x根号3/2+3t/4，所以H的坐标为[(4-t根号3)/2，根号3)
DF=t/4，FO=t根号3/2
S=0.5*DF*FO-0.5*(1-(4-t根号3)/2)*(3t/2-根号3)=(-3根号3/16)(t-5根号3/3)^2+根号3/48
（3）当根号3<=t<4根号3/3时，S=0.5*t/4*(2-t根号3/2)=(-3/16)(t-2/3)^2+1/12