Question

已知a,b,c属于R,求证根号下a方+b方≥2分之根2（a+b）

已知a,b,c属于R,求证根号下a方+b方≥2分之根2（a+b） （用综合法和分析法两种方法）

Answer 1

综合法：因为a^2+b^2≥2ab, 两边同时加上a^2+b^2,得 2(a^2+b^2)≥(a+b)^2,所以
a^2+b^2≥(1/2)(a+b)^2,两边开平方，得√(a^2+b^2)≥(√2/2)|a+b|≥(√2/2)(a+b)
分析法 ：当a+b≤0，原式显然成立；
当a+b>0时，要证√(a^2+b^2)≥(√2/2)(a+b)，需证a^2+b^2≥(1/2)(a+b)^2,
需证 2(a^2+b^2)≥(a+b)^2,，又需证a^2+b^2≥2ab，此式显然成立，
所以原不等式成立。