Question

已知函数f(x)=1-a/x-lnx (a为常数), (1)若函数f(x)在区间(0,2)上无极值, （2）讨论函数g(x)=f(x)-2x的单调

已知函数f(x)=1-a/x-lnx (a为常数),
(1)若函数f(x)在区间(0,2)上无极值,
（2）讨论函数g(x)=f(x)-2x的单调性。
（3）求证：ln((n+1)/3)<1/3+1/4+1/5+......+1/n前两问不要证明了,求第三问
拜托了,谢谢

Answer 1

构造函数f(x)=ln(x+1)-x,x>0,
求导得：f’(x)=1/(x+1)-1=-x/(x+1)<0,
所以x>0时，函数递减
∴f(x)<f(0)=0,
即ln(x+1)-x<0，ln(x+1) <x.

分别令x=1/3,1/4,……,1/n得：
ln(4/3) <1/3,
ln(5/4) <1/4,
ln(6/5) <1/5,
……
ln((n+1)/n)<1/n
以上各式相加得：
ln(4/3)+ ln(5/4) +ln(6/5) +……+ ln((n+1)/n) <1/3+1/4+……+1/n
即ln[4/3•5/4•6/5•……•(n+1)/n] <1/3+1/4+……+1/n
所以ln(n+1/3)<1/3+1/4+……+1/n

Answer 2

不知道