Question

已知数列{an}中，a1=8，，a4=2，且满足an+2-2an+1+an=0 (n∈N)，求数列{an}的通项公式

设bn=1/n（12-an），Tn=b1+b2+...+bn（n∈N）是否存在最大整数m，使得对任意n∈N，均有Tn＞m/32成立？若存在，求出m，若不存在，请说明理由。

Answer 1

a(n＋2)＋an=2a(n＋1)，则数列{an}是等差数列，因a1=8，a4=2，则d=－2，所以an=－2n＋10；bn=1/[n(12－an)]=1/[n(2n＋2)]=(1/2)[(1/n)－1/(n＋1)]，得：Tn=(1/2)[1－1/(n＋1)]，若Tn>m/32恒成立，则(Tn)的最小值>m/32，而Tn的最小值是T1=(1/2)[1－(1/2)]=1/4，则：1/4>m/32，得：m<8，则最大的正整数m的值是m=7

Answer 2

(1)an+2-2an+1+an=0 {an}是等差数列
a1=8,a4=2 d=-2 an=10-2n

(2)Sn=10-2+10-4+10-6+...+10-2n
=10n-n^2-n
=9n-n^2
(3)Tn裂项求和 解出Tn 找到Tn最小值 所以m最大为10
是别人的成果，不是我做的。我们还没教过

Answer 3

解：
(1)
a4=2a3-a2
a3=2a2-a1
a4=2(2a2-a1)-a2=3a2-2a1=3a2-2×8=3a2-16=2
3a2=18
a2=6
a2-a1=6-8=-2
a3=2a2-a1=2×6-8=12-8=4
(a3-a2)-(a2-a1)=(4-6)-(6-8)=0
a(n+2)=2a(n+1)-an
a(n+2)-a(n+1)=a(n+1)-an=...=a2-a1=-2，为定值。
数列{an}是以8为首项，-2为公差的等差数列。
an=8-2(n-1)=10-2n
数列{an}的通项公式为an=10-2n
(2)
令10-2n≥0，解得n≤5，即数列前5项非负，从第6项开始，以后各项均<0。
n≤5时，Sn=a1+a2+...+an=10n -2(1+2+...+n)=10n -2n(n+1)/2=9n -n²
n≥6时，
Sn=a1+a2+...+a5-a6-a7-...-an
=-(a1+a2+...+an) +2(a1+a2+...+a5)
=-(9n-n²)+2×(9×5 -5²)
=n²-9n+40