Question

为什么 f(x)的最小正周期大于等于π ？

已知函数f(x)=sin(wx+φ)(w<0,0≤φ<兀)是R上的偶函数，其图像关于点M(3兀/4，0)对称，且在区间[0，兀/2]上为单调函数，试确定w的值

函数f(x)=sin(ωx+φ)(w>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数∴f(-x)＝f(x)→sin(-wx+φ)=sin(wx+φ)→-sinωxcosφ=sinωxcosφ
sinωx不恒等于0,∴cosφ=0,又0≤φ≤π∴φ=π/2
其图像关于点(3/4π,0)对称,则 ω*3π/4+π/2 =kπ(k∈z)→ω=(4k-2)/3(k∈z)
又f(x)在区间[0,π/2]上是单调函数∴f(x)的最小正周期大于等于π(可画一个示意图得出),
即2π/ω≥π,又ω>0→0<ω≤2.
ω=2或2/3

Answer 1

由正弦函数可知，一个周期包含两个单调区间，一增一减。从而，一个完整的单调区间的长度是周期的一半。
本题中，由于f(x)在区间[0,π/2]上是单调函数，从而[0,π/2]不超过周期的一半，即 f(x)的最小正周期大于等于π 。

追问

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