Question

如图，点C是半圆O的半径OB上的动点，作PC⊥AB于C，点D是半圆上位于PC左侧的点，连接BD

如图，点C是半圆O的半径OB上的动点，作PC⊥AB于C，点D是半圆上位于PC左侧的点，连接BD交线段PC于E，且PD=PE.
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为4√3，PC=8√3，设OC=x，PD2=y．
①求y关于x的函数关系式；
②当时x=√3，求tanB的值．

Answer 1

（1）证明：连接OD
∵OB=OD
∴∠OBD=∠ODB
∵PD=PE
∴∠PDE=∠PED
∴∠PDO=∠PDE+∠ODE=∠PED+∠OBD=∠BEC+∠OBD=∠BEC+∠OBD=90°
∴PD⊥OD
∴PD是圆O的切线．
（2）连接OP．
在Rt△POC中，
OP^2=OC^2+PC^2=x^2+(8√3)^2=192 +x^2
在Rt△PDO中
PD^2=OP^2-OD^2=x^2+192-(4√3)^2=x^2+144．
∴y=x^2+144
②当x=√3时，求tanB的值
当x=√3时 代入 y=x^2+144
y=√3^2+144=147
即PD=√(147)=7√3
∵PD=PE EC=PC-PE
∴EC=8√ 3-7√ 3=√ 3
CB= OB-OC=4√3-√3=3√3
∴在Rt△ECB中 tanB= CE/CB=√ 3/(3√3)=1/3

Answer 2

（1）证明：连接OD．
∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB．
∵PD=PE，∴∠PDE=∠PED．
∠PDO=∠PDE+∠ODE
=∠PED+∠OBD
=∠BEC+∠OBD
=90°，
∴PD⊥OD．
∴PD是⊙O的切线．

（2）解：①连接OP．
在Rt△POC中，
OP2=OC2+PC2=x2+192．
在Rt△PDO中，
PD2=OP2-OD2=x2+144．
∴y=x2+144（0≤x≤4
3
）．

（x取值范围不写不扣分）
②当x=

3
时，y=147，

∴PD=7
3
，（8分）∴EC=

3
，

∵CB=3
3
，∴在Rt△ECB中，tanB=

CE
CB
=

3
33
=

1
3 ．