Question

复合函数在泰勒展开式中为何不用对中间变量求导?求两次导答案是一样的，可是就是不太懂原理。

为什么右边是正确的？

Answer 1

f(x)=f(0)+f'(0)x+..+[f(n)(0)/n!]x^n+o(x^n)...(1)
g(x)=g(0)+g'(0)x+..+[g(n)(0)/n!]x^m+o(x^m)....(2)
把二式看成一个等式，用g(x)换掉(1)中x
那么利用[g(0)+g'(0)x+..+[g(n)(0)/n!]x^m+o(x^m)]^i=o(x^mi) （i=1,2,3....)以及o(g(x)^m)=o(x^mn)
（以上两个式子利用高阶无穷小的定义容易证明)
就得到f(g(x))的展开式了(方法如上，而不是所谓的对中间变量求导）
例子：e^x=1+x+x^2/2+o(x^2) sinx=x-x^3/6+o(x^3)
则e^(sinx)=1+x-x^3/6+o(x^3)+[x-x^3/6+o(x^3)]^2/2+o(x^6)=1+x+x^2/2-x^3/6-x^4/6+x^6/72+o(x^6)

追问

麻烦您再帮忙看一下这个，因为我一开始提问的时候上传图片错了，谢谢，解答成功赠送50积分。为什么右边的图片是正确的。。。