Question

用定义计算下列行列式

Answer 1

解：根据行列式的定义，从行列式不同行（或列）中取数的全排列，任意一种排列中全部数字之积，再把所有排列求出的积求和等于行列式的值。

先假设行列式中，a(ij)≠0 【其中，i=1，2，……，n； j=1，2，……，(n+1 - i )】

因为如果取数排列中含有零，则这一排列的积为零，
所以，计算行列式的值时，只需考虑全不为零的取数排列。

于是，我们不妨先看第n行，只有a(n1) ≠ 0，所以只能取a(n1)
再看第n-1行，只能选择的不同行（列）的非零数字只有a(n-1, 2)，
再看第n-2行，只能选择的不同行（列）的非零数字只有a(n-2, 3)，
……
如此类推，
当取数到第1行时，只能选择的不同行（列）的非零数字只有a(1n)
所以所选取的n个非零数字为a(n1)，a(n-1, 2)，a(n-2, 3)，……，a(2, n-1)，a(1n)

其逆序数 = (n-1)+(n-2)+(n-3)+……+1 = n(n-1)/2
所以，原行列式的值
= ｛a(n1)* a(n-1, 2)* a(n-2, 3)* …… * a(2, n-1)* a(1n)｝ 的积 再乘以 (-1)的 n(n-1)/2 次方