Question

已知函数f(x)=x^3-3ax^2+2bx在x=1处有极值-1，试求a,b的值，并求出f(x)的单调区间

Answer 1

【解】∵f(x)=x^3-3ax^2+2bx
∴f'(x)=3x^2-6ax+2b
由已知得f'(1)=0,则 3-6a+2b=0
∵当x=1是有极小值-1
∴f(1)=1-3a+2b=-1
3-6a+2b=0…①
1-3a+2b=-1…②
由①②得a=1/3， b=-1/2
把a=1/3 b=-1/2代入f(x)中
∴f(x)=x^3-x^2-x
∴f'(x)=3x^2-2x-1
令f'(x)＝0,则f'(x)=(3x+1)(x-1)=0
若f'(x)>0，即(-∞,-1/3]，[1,+∞)，函数f(x)单调递增.
若f'(x)<0，即[-1/3,1]，函数f(x)单调递减.

Answer 2

f(1)=1-3a+2b=-1 ①

f'(1)=3-6a+2b=0 ②
①②联立解得a=1/3 b=-1/2
方程 f(x)=x^3-x^2-x
f'(x)=3x-2x-1=(3x+1)(x-1) x1=1 x2=-1/3
x>1或x<-1/3时 f'(x)>0 f(x)的单调增大
-1/3<X<1 f'(x)<0 f(x)的单调减小