Question

已知函数f(x)=x^2+ax^2+bx+c在x=-2/3与x=1时都取得极值.求a.b的值与函数f(x)的单调区间

Answer 1

由题意得：函数
f(x)=x3+ax^2+bx+c
的导函数为f'(x)=x2+2ax+b
又原函数在x=-2/3与x=1时都取得极值
则由韦达定理得：-2a=-2/3+1=-1/3
b=-2/3*1=-2/3
故：a=-1/6
b=-2/3
则原函数的解析式为：f(x)=x3-1/6x2-2/3x+c
函数的导函数为f'(x)=x2-1/3-2/3
令x2-1/3-2/3>0解得：x<-2/3或者x>1
x2-1/3-2/3<0解得：-2/3<x<1
故函数的单调递增区间为：(-00,-2/3)U(1,+00)
函数的单调递减区间为：(-2/3,1)

Answer 2

f(x)=x^3+ax^2+bx+c在x=-2/3与x=1时都取得极值
f'(x)=3x^2-2ax+b
所以
f'(-2/3)=0=4/3+4a/3+b
f'(1)=0=3-2a+b=0
a=1/2,b=-2
f'(x)=3(x+2/3)(x-1)>0
得单调增区间为：(-∞，-2/3),(1,+∞)
减区间为：（-2/3,1）

Answer 3

(1)
因为f(x)在x=-2/3
与x=1时都取得极值
所以f'(-2/3)=0
,f'(1)=0
解得a=1/2
b=-2
所以f'(x)=3x^2-x-2
当x<-2/3或x>1时，f(x)单调递增，反之则递减
（2）令f'(x)=0
x=1,-2/3
,因为f''(1)>0
所以f(1)是极小值
舍去
f''(-2/3)<0,所以是极大值，f(-2/3)=22/27
-c
又f(-1)=1/2
-c
f(2)=2-
c
要使原命题恒成立，即
max[f(x)]<c^2
即
f(2)<c^2
解得c<-2或c>1

Answer 4

(1)
因为f(x)在x=-2/3
与x=1时都取得极值
所以f'(-2/3)=0
,f'(1)=0
解得a=1/2
b=-2
所以f'(x)=3x^2-x-2
当x<-2/3或x>1时，f(x)单调递增，反之则递减
（2）令f'(x)=0
x=1,-2/3
,因为f''(1)>0
所以f(1)是极小值
舍去
f''(-2/3)<0,所以是极大值，f(-2/3)=22/27
-c
又f(-1)=1/2
-c
f(2)=2-
c
要使原命题恒成立，即
max[f(x)]
1

Answer 5

已知函数f(x)=x^2+ax^2+bx+c在x=-2/3与x=1时都取得极值.求a.b的值与函数f(x)的单调区间

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