Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，

如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别是√2/10,2√5/5。求tan（α+2β）的值
如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别是√2/10,2√5/5。求tan（α+2β）的值

Answer 1

由已知，cosα=√2/10 ，cosβ=2√5/5 ，所以 sinα=7√2/10 ，sinβ=√5/5 。
1）因为 tanα=sinα/cosα=7 ，tanβ=sinβ/cosβ=1/2 ，
所以 tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)=(7+1/2)/(1-7/2)=-3 ；
2）因为 tan(α+2β)=tan[(α+β)+β]=[tan(α+β)+tanβ]/[1-tan(α+β)tanβ]
=(-3+1/2)/(1+3/2)=-1 ，
且 α、β 均为锐角，又 tan(α+β)=-3<0 ，则 α+β 为钝角 ，
所以 由 0<α+2β<3π/2 及 tan(α+2β)=-1 得
α+2β=3π/4 。

Answer 2

tanα=7
tanβ=1/2
tan2β=4/3
tan（α+2β）=-1

注：tan（a+b)=(tana+tanb)/(1-tana*tanb);