Question

如果非负函数f(x)在0到正无穷连续，并且在0到正无穷上的积分收敛，问：f(x)在x趋向于正无穷时，是否趋0？

我的疑惑是，如果他不趋向0，那么由于函数连续，我总可以找到一个非零正区间，我在这个区间上积分，则值不会为0，那此积分就不应该收敛。 可是答案认为可以不趋向0

Answer 1

结果是趋于0

解题过程如下：

扩展资料

求收敛级数的方法：

函数级数是形如∑an(x-x0)^n的级数，称之为幂级数。它的结构简单 ，收敛域是一个以为中心的区间（不一定包括端点），并且在一定范围内具有类似多项式的性质，在收敛区间内能进行逐项微分和逐项积分等运算。

例如幂级数∑(2x)^n/x的收敛区间是[-1/2,1/2]，幂级数∑[(x-21)^n]/(n^2)的收敛区间是[1，3]，而幂级数∑(x^n)/(n!)在实数轴上收敛。

如果每一un≥0（或un≤0），则称∑un为正（或负）项级数，正项级数与负项级数统称为同号级数。正项级数收敛的充要条件是其部分和序列Sm 有上界。

例如∑1/n！收敛，因为：Sm=1+1/2!+1/3!+···+1/m!<1+1+1/2+1/22+···+1/2^(m-1)<3(2^3表示2的3次方)。

如果级数的每一项依赖于变量x,x 在某区间I内变化,即un=un(x),x∈I，则∑un(x)称为函数项级数,简称函数级数。

若x=x0使数项级数∑un(x0)收敛，就称x0为收敛点，由收敛点组成的集合称为收敛域，若对每一x∈I，级数∑un(x)都收敛，就称I为收敛区间。

函数级数在其收敛域内定义了一个函数，称之为和函数S(x)，即S(x)=∑un(x)如果满足更强的条件，Sm(x)在收敛域内一致收敛于S(x)。

Answer 2

给您举一个例子吧

首先我来说明一下 函数收敛那么函数一定是有界的，不过有界不一定收敛

我们举y=1/x+1（x>0）的例子 这个函数满足题目要求 但是如果照您那么说 这个函数难道不收敛么

什么是收敛呢 通俗一点说就是 函数能不断随自变量变大或变小 而趋向于一个值

那么为什么您要要求“我在这个区间上积分，则值不会为0”呢？

如果我的讲解您有感到疑惑的地方 欢迎再追问哦亲~

给您找到了函数收敛的解释

希望对您有用
函数收敛是由对函数在某点收敛定义引申出来的

函数在某点收敛，是指当自变量趋向这一点时，其函数值的极限就等于函数在该点的值

若函数在定义域的每一点都收敛，则通常称函数是收敛的

追问

那我简化我的问题。。
当满足题干的要求后，该积分是否满足柯西收敛条件？
另外说句，是这个函数的无穷积分收敛的情况下，该被积函数是否一定趋向于0

追答

先上定义再解释的说
将柯西收敛原理推广到函数极限中则有： 　　函数f(x)在无穷远处有极限的充要条件是：对任意给定的ε>0，有Z属于实数，当x,y>Z时，有|f(x)-f(y)|<ε成立 　　此外柯西收敛原理还可推广到广义积分是否收敛，数项级数是否收敛的判别中，有较大的适用范围。

按您所说确实满足柯西收敛啊 不过我觉得您是不是有一点混淆的地方
那就是|f(x)-f(y)|<ε里面f（y）不是0啊
所以 收敛的函数不一定是向0收敛的啊 函数不向0收敛 那它的被积函数怎么会趋向于零呢

您说是吧

如果还有什么问题 欢迎您在探讨哦亲~

Answer 3

有问题可追问

Answer 4

1我们老师说如果单调就能保证，否则不行。为啥我也不知道