在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b²=ac,cosB=3/4.（1）求1/tanA+1/tanC的值。
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(1)cosB=3/4，从而sinB=√7/4，由正弦定理，b^2=ac等价于7/16=sinB^2=sinAsinC
所以1/tanA +1/tanC=cosA/sinA+cosC/sinC=[cosAsinC+cosCsinA]/[sinAsinC]=sin(A+C)/[sinAsinC]=sinB/[sinAsinC]=√7/4/(7/16)=4√7/7
(2)BA*BC=cacosB=3/2，所以b^2=ac=2
而由余弦定理，2=b^2=a^2+c^2-2accosB，解得a^2+c^2=5
所以a+c=3。
f(x)=sin^2 x-1+sin x+3+m=(sin x+1/2)^2+m+7/4
其最大值在sin x=1时取到，为m+4，
由于f(x)小于等于1对一切x属于R恒成立，所以m+4≤1，即m≤-3
所以1/tanA +1/tanC=cosA/sinA+cosC/sinC=[cosAsinC+cosCsinA]/[sinAsinC]=sin(A+C)/[sinAsinC]=sinB/[sinAsinC]=√7/4/(7/16)=4√7/7
(2)BA*BC=cacosB=3/2，所以b^2=ac=2
而由余弦定理，2=b^2=a^2+c^2-2accosB，解得a^2+c^2=5
所以a+c=3。
f(x)=sin^2 x-1+sin x+3+m=(sin x+1/2)^2+m+7/4
其最大值在sin x=1时取到，为m+4，
由于f(x)小于等于1对一切x属于R恒成立，所以m+4≤1，即m≤-3
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