Question

在四边形ABCD中,AD=CD,∠ABC=75°,∠ADC=60°，AB=2，BC=根号2，求∠BCD的度数及四边形面积

这个是初中的问题，请不要用高中知识，不用余弦定理，谢谢

Answer 1

解
从A点在BC上画高。其交点为E.
所以AE=AB*sin75=√2/2*(√3+1),BE=AB*cos75=√2/2(√3-1)
CE=BC-BE=√6/2(√3-1).从中可知E不是BC中点。
所以tg角ACB=(3+2√3)/3 .角ACB=arctg(3+2√3)/3
所以角BCD=60+arctg(3+2√3)/3

从上面知道CE,AE所以利用勾股定理可以求AC.得AC=√(8-2√3)
所以该图形面积=三角形ABC面积+正三角形ACD面积
=1/2*BC*AE+1/2*AC*AC*sin60
=1/2*√2*√2/2(√3+1)+1/2*(8-2√3)*√3/2
=(5√3/2)-1

Answer 2

1.连接AC显然ACD为等边三角形，以BD为边做等边三角形BDE则
CDE全等ADB CE=AB CED=ABD
所以三角形BCE就是以BC BD AB的三角形
易证BCE=CED=ABD=CED+EDB+DBC=
DBC+ABD+BDE=75+60=135(这么解竞赛的变通)
2.这个问号不对，BC不可能根号2
但是第一问有了第二问就简单了
A=90
S=ABD+BCD好求

Answer 3

连接AC
在三角形ACD中 AD=DC 则为等腰三角形
∠ADC=60°
则三角形ACD为等边三角形
则 AC=DC
在三角形ABC中 AB=2 BC=根号2 ∠ABC=75°
做CE垂直AB交AB于E
则 三角形BCE 中
EC=（sin∠ABC）*BC=BC*sin75=BC*sin（45+30）=（√2）(√6+√2)/4=（√3+1）/2
则BE=BC*cos∠ABC=BC*cos75=（√2）*(√6-√2)/4=（√3-1）/2
则EA=AB-BE=（√3+3）/2
则直角三角形EAC中 AC^2=AE^2+CE^2
解得 AC=√3+1
则 则sin∠ECA=AE/AC=[（√3+3）/2]/(√3+1)=√3/2
则 ∠ECA=60°
则 ∠BCD=∠ECA+∠ACD+∠ECB=60+60+15=135°

三角形ABC的面积=AB*CE/2=2*【（√3+1）/2】/2=（√3+1）/2
等边三角形ADC面积=AD*ADsin60*/2=（2√3+3）/2
则四边形面积=（√3+1）/2+（2√3+3）/2=（3√3+4）/2