Question

已知数列an满足a1=4,an=4 - 4/an-1 (n≥2),记bn= 1 / an-2

求an的通项公式，谢谢

Answer 1

an=4 - 4/a(n-1),
则an-2=2 - 4/a(n-1)
即an-2=[2a(n-1)-4]/a(n-1)
所以1/( an-2)= a(n-1) /[2(a(n-1)-2)],
1/( an-2)=[ a(n-1)-2+2] /[2(a(n-1)-2)],
1/( an-2)=1/2+1/[(a(n-1)-2)],
将bn= 1 / (an-2)代入上式，可得：
bn=1/2+b(n-1)
所以数列{ bn-1}是公差为1/2的等比数列，首项为b1=1 / (a1-2) =1/2.
所以bn=1/2+(n-1)*(1/2),
bn=n/2,
即1 / (an-2) =n/2,
an-2=2/n,
所以an=2+2/n.