Question

一道貌似可以用函数解决的初中数学题，有兴趣的可以进来帮我想想

三角形ABC中，底边BC，顶角A为45°，过A做BC的垂线，垂足为D，BD＝3，CD＝2，求该三角形ABC的面积……不要用其他，用坐标轴，听别人讲可以用外心的性质加坐标轴可以做出……望哪个高手求教吓

Answer 1

分析；本题如果没有给定ABC图形，应该考虑到可能有2种情况，

1、当锐角三角形的情形时

   以D点为原点，BC为X轴，AD为Y轴，DA，BC为两轴的正方向，设A点坐标为（0，y)，则B点（-3，0），C点（2，0），S△ABC=1/2AB*AC*SIN45=√2/4*(√（9+y^2))*(√（4+y^2))，又因S△ABC=1/2*5*y,因而求得y=1，或6 [当Y=1时，A点处于A‘处，tan(A'BC)=1/3<(1=tan45)，即A'BC<45度,BA'C必然大于45度,显然这是错误的结果,应舍去)，正确的结果y=6,S△ABC=15；

2、当处于第二种情况时，BC的长度为1，各点坐标如图

同理得关系：1/2*√2/2（*(√（9+y^2))*(√（4+y^2)=1/2y,最后化简成y^4+11y^2+36=0,无解，故第二种情形不存在。

最终结果三角形面积=15

Answer 2

设AD=x,
根据勾股定理可得：AB=√(x^2+9),AC=√(x^2+4),
过点C作CE⊥AB与点E，
因为A为45°，所以△AEC是等腰直角三角形。
则AC=√2CE.

因为1/2*BC*AD=1/2*AB*CE（都是三角形的面积）
所以CE=5x/√(x^2+9)

因为AC=√2CE，
所以√(x^2+4) =√2*5x/√(x^2+9)，
平方得：(x^2+4) (x^2+9)=50x^2,
展开整理得：x^4-37x^2+36=0,
所以x^2=1或36，x=1或6.

当x=1时，tanB=1/3<1=tan45°, B<45°;
tanC=1/2<1, C<45°.此时A是钝角，不合题意舍去。

当x=6时，三角形的面积=1/2*BC*AD=1/2*5*6=15.

Answer 3

三角形ABC中，底边BC，顶角A为45°，过A做BC的垂线，垂足为D，BD＝3，CD＝2，求该三角形ABC的面积。
解：以D作原点，BC所在直线为x轴，DA所在直线为y轴建立坐标系；在此坐标系内，A点的坐标
为(0，h)；B点的坐标为(-3，0)；C点的坐标为(2，0)；设AB所在直线的斜率为k₁=tan∠ABC
=h/3；AC所在的直线为k₂=tan(180°-∠ACB)=-tan∠ACB=-h/2；
将AB按逆时针方向绕A点转到与AC重合，转过的角是45°，因此tanA=(k₂-k₁)/(1+k₁k₂)=1
即有k₂-k₁=1+k₁k₂，将k₁，k₂的表达式代入得：-h/2-h/3=1-h²/6，即有-5h/6=1-h²/6，故有h²-5h-6=(h-6)(h+1)=0，∴h=6，(h=-1舍去).
于是得SΔABC=(1/2)×︱BC︱︱DA︱=(1/2)×5×6=15.